عدد فرود یکی از مهمترین اعداد بدون بعد در تحلیل جریانهای دارای سطح آزاد است. این عدد سرعت متوسط جریان را با سرعت انتشار امواج سطحی مقایسه میکند و برای تشخیص جریان زیر بحرانی، بحرانی یا فوق بحرانی به کار میرود.
شناخت رژیم جریان در طراحی کانالهای روباز، آبروها، سرریزها، فلومها، حوضچههای آرامش، مجاری انتقال آب و شبکههای جمعآوری آبهای سطحی اهمیت زیادی دارد؛ زیرا جهت انتشار اغتشاشات، محل کنترل جریان، تغییرات عمق و احتمال تشکیل جهش هیدرولیکی به وضعیت عدد فرود وابسته است.
در محاسبهگر این صفحه میتوانید یکی از پارامترهای عدد فرود، سرعت متوسط جریان، شتاب گرانش یا عمق هیدرولیکی را خالی بگذارید تا مقدار مجهول از روی سایر اطلاعات محاسبه شود.
راهنمای استفاده: فقط یکی از چهار پارامتر را خالی بگذارید. در مقاطع غیرمستطیلی باید عمق هیدرولیکی از تقسیم مساحت جریان بر عرض سطح آزاد محاسبه شود.
محاسبه آنلاین عدد فرود
راهنمای عدد فرود و عمق هیدرولیکی
برای جریان روباز، عمق هیدرولیکی از رابطه hm = A / T به دست میآید؛ A سطح مقطع جریان و T عرض سطح آزاد است. در کانال مستطیلی، عمق هیدرولیکی با عمق آب برابر است.
عدد فرود کمتر از یک نشاندهنده جریان زیر بحرانی، عدد یک بیانگر جریان بحرانی و عدد بزرگتر از یک نشاندهنده جریان فوق بحرانی است.
این محاسبهگر برای جریان روباز و بر مبنای سرعت متوسط و عمق هیدرولیکی مقطع عمل میکند. در کانال مستطیلی، عمق هیدرولیکی با عمق جریان برابر است.
عدد فرود چیست؟
عدد فرود یا Froude Number نسبت سرعت متوسط جریان به سرعت انتشار امواج ثقلی سطحی را نشان میدهد. این عدد بدون بعد است و معمولاً با نماد Fr نمایش داده میشود.
در این رابطه:
- Fr: عدد فرود، بدون بعد
- V: سرعت متوسط جریان بر حسب متر بر ثانیه
- g: شتاب گرانش بر حسب متر بر مجذور ثانیه
- Dh: عمق هیدرولیکی جریان بر حسب متر
عبارت زیر سرعت تقریبی انتشار موج سطحی کمدامنه در جریان کمعمق را نشان میدهد:
بنابراین میتوان عدد فرود را بهصورت زیر نیز نوشت:
اگر سرعت جریان از سرعت انتشار موج کمتر باشد، اغتشاشات میتوانند در خلاف جهت جریان نیز منتشر شوند. اگر سرعت جریان از سرعت موج بیشتر باشد، اغتشاشات سطحی همراه جریان به سمت پاییندست منتقل خواهند شد.
تشخیص رژیم جریان با عدد فرود
| محدوده عدد فرود | نوع جریان | ویژگی عمومی |
|---|---|---|
| Fr < 1 | جریان زیر بحرانی | سرعت کمتر و عمق بیشتر؛ اثر شرایط پاییندست مهم است. |
| Fr = 1 | جریان بحرانی | سرعت جریان با سرعت انتشار موج برابر است. |
| Fr > 1 | جریان فوق بحرانی | سرعت بیشتر و عمق کمتر؛ کنترل جریان معمولاً از بالادست انجام میشود. |
جریان زیر بحرانی
در جریان زیر بحرانی، عدد فرود کمتر از یک است و سرعت متوسط جریان از سرعت انتشار امواج سطحی کمتر است. در این شرایط، اغتشاشات کوچک میتوانند هم به سمت بالادست و هم به سمت پاییندست حرکت کنند.
جریان زیر بحرانی معمولاً با عمق بیشتر، سرعت کمتر و شیب ملایمتر همراه است. در چنین جریانی، تغییر تراز آب یا وجود یک مانع در پاییندست میتواند وضعیت جریان را در مقاطع بالادست نیز تحت تأثیر قرار دهد.
جریان بحرانی
هنگامی که عدد فرود برابر یک باشد، جریان در وضعیت بحرانی قرار دارد. در این حالت سرعت جریان با سرعت انتشار موج سطحی برابر است.
عمق متناظر با این وضعیت، عمق بحرانی نامیده میشود. برای یک دبی معین، انرژی مخصوص جریان در عمق بحرانی به حداقل مقدار خود میرسد.
جریان بحرانی معمولاً در مقاطع کنترل مانند تاج سرریز، گلوگاه فلوم، انقباض کانال یا محل تغییر محسوس شیب تشکیل میشود. نزدیکشدن عدد فرود به یک میتواند جریان را نسبت به تغییرات کوچک هندسه، دبی یا تراز آب حساس کند.
جریان فوق بحرانی
در جریان فوق بحرانی، عدد فرود بیشتر از یک و سرعت متوسط جریان از سرعت انتشار امواج سطحی بیشتر است. اغتشاشات سطحی در این وضعیت نمیتوانند به بالادست حرکت کنند و همراه جریان به پاییندست رانده میشوند.
جریان فوق بحرانی معمولاً با سرعت زیاد، عمق کم و شیب تند همراه است. این جریان ممکن است در پاییندست سرریزها، شوتها، خروجی آبروها و کانالهای صاف با شیب زیاد تشکیل شود.
عمق هیدرولیکی چیست؟
عمق هیدرولیکی از تقسیم مساحت سطح مقطع جریان بر عرض سطح آزاد آب به دست میآید:
در این رابطه:
- A: مساحت سطح مقطع جریان بر حسب مترمربع
- T: عرض سطح آزاد جریان بر حسب متر
- Dh: عمق هیدرولیکی بر حسب متر
عمق هیدرولیکی نباید با شعاع هیدرولیکی اشتباه گرفته شود. شعاع هیدرولیکی از تقسیم مساحت جریان بر محیط خیسشده به دست میآید:
| پارامتر | رابطه | کاربرد متداول |
|---|---|---|
| عمق هیدرولیکی | Dh = A/T | محاسبه عدد فرود و وضعیت بحرانی جریان |
| شعاع هیدرولیکی | Rh = A/P | روابط مقاومت جریان مانند معادله منینگ |
نکته مهم: واردکردن شعاع هیدرولیکی بهجای عمق هیدرولیکی باعث محاسبه نادرست عدد فرود میشود.
عمق هیدرولیکی در کانال مستطیلی
برای کانال مستطیلی با عرض کف b و عمق جریان y، مساحت جریان و عرض سطح آزاد برابرند با:
بنابراین:
پس در کانال مستطیلی، عمق هیدرولیکی دقیقاً با عمق آب برابر است و رابطه عدد فرود به شکل ساده زیر نوشته میشود:
عمق هیدرولیکی در کانال ذوزنقهای
برای کانال ذوزنقهای با عرض کف b، عمق جریان y و شیب جانبی z بهصورت افقی به قائم، مساحت جریان برابر است با:
عرض سطح آزاد نیز از رابطه زیر به دست میآید:
در نتیجه:
در کانال ذوزنقهای، عمق هیدرولیکی معمولاً با عمق قائم جریان برابر نیست و باید از هندسه واقعی مقطع محاسبه شود.
محاسبه سرعت متوسط جریان
اگر دبی حجمی و مساحت سطح مقطع جریان مشخص باشند، سرعت متوسط از رابطه زیر محاسبه میشود:
در این رابطه:
- V: سرعت متوسط جریان بر حسب متر بر ثانیه
- Q: دبی حجمی بر حسب مترمکعب بر ثانیه
- A: مساحت سطح مقطع جریان بر حسب مترمربع
اگر دبی با واحد مترمکعب بر ساعت در اختیار باشد، ابتدا باید به مترمکعب بر ثانیه تبدیل شود:
محاسبه پارامتر مجهول
رابطه عدد فرود را میتوان برای بهدستآوردن هر یک از پارامترهای اصلی بازنویسی کرد.
محاسبه عدد فرود
محاسبه سرعت جریان
محاسبه عمق هیدرولیکی
محاسبه شتاب گرانش
محاسبهگر این صفحه با تشخیص فیلد خالی، رابطه مناسب را انتخاب میکند. برای داشتن پاسخ یکتا، فقط یک پارامتر باید مجهول باشد.
مثال محاسبه عدد فرود
فرض کنید جریان آب در یک کانال مستطیلی با سرعت متوسط ۲ متر بر ثانیه و عمق ۱ متر حرکت میکند. شتاب گرانش برابر ۹٫۸۰۶۶۵ متر بر مجذور ثانیه در نظر گرفته میشود.
چون کانال مستطیلی است، عمق هیدرولیکی با عمق جریان برابر خواهد بود:
عدد فرود از رابطه زیر به دست میآید:
از آنجا که عدد فرود کمتر از یک است، جریان در این مقطع زیر بحرانی محسوب میشود.
مثال جریان فوق بحرانی
اگر سرعت متوسط جریان ۴ متر بر ثانیه و عمق هیدرولیکی ۰٫۵ متر باشد:
در این حالت عدد فرود بیشتر از یک است و جریان فوق بحرانی خواهد بود.
سرعت بحرانی جریان
در وضعیت بحرانی، عدد فرود برابر یک است. بنابراین سرعت بحرانی برای یک عمق هیدرولیکی مشخص از رابطه زیر به دست میآید:
اگر سرعت جریان کمتر از این مقدار باشد، جریان زیر بحرانی و اگر بیشتر از آن باشد، جریان فوق بحرانی خواهد بود.
عمق بحرانی در کانال مستطیلی
برای یک کانال مستطیلی، دبی واحد عرض از رابطه زیر تعریف میشود:
عمق بحرانی کانال مستطیلی از رابطه زیر قابل محاسبه است:
این رابطه مختص کانال مستطیلی است. برای مقاطع ذوزنقهای، دایرهای نیمهپر یا مقاطع طبیعی، عمق بحرانی معمولاً با حل رابطه عمومی جریان بحرانی تعیین میشود.
ارتباط عدد فرود با انرژی مخصوص
انرژی مخصوص جریان نسبت به کف کانال از مجموع عمق و هد سرعت تشکیل میشود:
برای یک دبی مشخص، منحنی انرژی مخصوص در عمق بحرانی به کمترین مقدار خود میرسد. یک انرژی مخصوص بزرگتر از حداقل، ممکن است دو عمق متناوب داشته باشد: یک عمق بیشتر در رژیم زیر بحرانی و یک عمق کمتر در رژیم فوق بحرانی.
جهش هیدرولیکی و عدد فرود
جهش هیدرولیکی زمانی رخ میدهد که جریان فوق بحرانی با سرعت زیاد و عمق کم، به جریان زیر بحرانی با سرعت کمتر و عمق بیشتر تبدیل شود.
در محل جهش، سطح آب بهصورت ناگهانی بالا میآید، آشفتگی شدیدی تشکیل میشود و بخشی از انرژی مکانیکی جریان مستهلک میشود. از این پدیده در حوضچههای آرامش پاییندست سرریزها، شوتها و خروجی مجاری برای کاهش انرژی جریان استفاده میشود.
عدد فرود جریان بالادست جهش یکی از پارامترهای اصلی تعیین نوع و شدت جهش هیدرولیکی است. افزایش عدد فرود ورودی معمولاً با افزایش شدت آشفتگی و اختلاف عمق قبل و بعد از جهش همراه است.
تفاوت عمق عادی و عمق بحرانی
| پارامتر | تعریف | عامل تعیینکننده |
|---|---|---|
| عمق عادی | عمق جریان یکنواخت در یک کانال | دبی، شیب، زبری و هندسه کانال |
| عمق بحرانی | عمقی که عدد فرود در آن برابر یک است | دبی و هندسه مقطع |
مقایسه عمق عادی و عمق بحرانی میتواند نوع شیب هیدرولیکی کانال و رژیم مورد انتظار جریان یکنواخت را مشخص کند.
کاربرد عدد فرود در مهندسی
عدد فرود در تحلیل و طراحی موارد زیر کاربرد دارد:
- کانالهای روباز انتقال آب
- کانالهای آبیاری و زهکشی
- جویها و آبروهای شهری
- فلومهای اندازهگیری جریان
- سرریزها و شوتهای انتقال آب
- حوضچههای آرامش
- جریان پاییندست سدها و دریچهها
- رودخانهها و مقاطع طبیعی
- آبروهای نیمهپر
- مدلسازی هیدرولیکی رودخانه و سیلاب
- بررسی جهش هیدرولیکی
- مطالعات شباهت مدلهای فیزیکی
عدد فرود در مدلسازی هیدرولیکی
در مدلهای فیزیکی جریانهایی که نیروی گرانش و سطح آزاد نقش اصلی دارند، تشابه فرود یکی از معیارهای مهم شباهت دینامیکی است. برای مشابهبودن رفتار موج، سطح آزاد و الگوی کلی جریان، عدد فرود مدل و نمونه واقعی باید تا حد امکان یکسان باشد.
برابرکردن عدد فرود الزاماً باعث برابری سایر اثرات مانند ویسکوزیته، کشش سطحی یا زبری نسبی نمیشود. بسته به ابعاد مدل و نوع مسئله، بررسی عدد رینولدز و سایر اعداد بدون بعد نیز ممکن است ضروری باشد.
تفاوت عدد فرود و عدد رینولدز
| عدد بدون بعد | نسبت فیزیکی | کاربرد اصلی |
|---|---|---|
| عدد فرود | اثر اینرسی نسبت به اثر گرانش | تشخیص رژیم جریان سطح آزاد و رفتار امواج |
| عدد رینولدز | اثر اینرسی نسبت به اثر لزجت | تشخیص رژیم آرام، انتقالی یا آشفته |
یک جریان میتواند از نظر عدد رینولدز آشفته و همزمان از نظر عدد فرود زیر بحرانی باشد. بنابراین اصطلاحهای «آرام و آشفته» نباید با «زیر بحرانی و فوق بحرانی» اشتباه گرفته شوند.
آیا عدد فرود برای جریان داخل لوله کاربرد دارد؟
محاسبهگر این صفحه برای جریان دارای سطح آزاد طراحی شده است. یک لوله نیمهپر که سطح آب آن با هوا در تماس است، میتواند بهعنوان مجرای روباز تحلیل شود.
اما در لوله کاملاً پر و تحت فشار، روابط جریان روباز و طبقهبندی زیر بحرانی یا فوق بحرانی به شکل معمول این مقاله مستقیماً کاربرد ندارند. تحلیل چنین جریانی معمولاً بر مبنای فشار، افت اصطکاکی، سرعت و پدیدههای گذرا انجام میشود.
خطاهای رایج در محاسبه عدد فرود
- واردکردن شعاع هیدرولیکی بهجای عمق هیدرولیکی
- فرض برابر بودن عمق هیدرولیکی و عمق آب در مقاطع غیرمستطیلی
- استفاده از سرعت موضعی بهجای سرعت متوسط مقطع
- واردکردن دبی بهجای سرعت بدون تقسیم آن بر مساحت جریان
- عدم تبدیل دبی مترمکعب بر ساعت به مترمکعب بر ثانیه
- استفاده از واحد سانتیمتر یا میلیمتر بدون تبدیل به متر
- محاسبه سطح مقطع با ابعاد اسمی نادرست
- نادیدهگرفتن تغییر عرض سطح آزاد در کانال ذوزنقهای
- تفسیر جریان زیر بحرانی بهعنوان جریان آرام لزج
- استفاده از رابطه جریان روباز برای لوله کاملاً پر و تحت فشار
فرضیات و محدودیتهای محاسبه
این محاسبهگر از رابطه متداول عدد فرود بر مبنای سرعت متوسط و عمق هیدرولیکی استفاده میکند. این تعریف برای تحلیل یکبعدی جریان روباز با توزیع سرعت تقریباً قابل نمایش توسط سرعت متوسط مناسب است.
در مقاطع مرکب رودخانهای، جریانهای چندشاخه، توزیع بسیار غیریکنواخت سرعت، جریانهای دوبعدی و سهبعدی یا مقاطعی که بخشهای مختلف آن رژیمهای متفاوت دارند، ممکن است یک عدد فرود واحد برای کل مقطع نتواند تمام رفتار جریان را نشان دهد.
در نزدیکی عدد فرود یک، تغییرات کوچک دبی، عمق یا هندسه میتواند موجب تغییر رژیم جریان شود. در طراحیهای حساس باید از تحلیل کامل پروفیل سطح آب و شرایط مرزی استفاده شود.
پرسشهای متداول
عدد فرود چه چیزی را نشان میدهد؟
عدد فرود سرعت جریان را با سرعت انتشار امواج ثقلی سطحی مقایسه میکند و مشخص میسازد جریان زیر بحرانی، بحرانی یا فوق بحرانی است.
آیا عدد فرود واحد دارد؟
خیر. واحد سرعت در صورت و مخرج رابطه یکسان است و در نتیجه عدد فرود بدون بعد خواهد بود.
تفاوت عمق هیدرولیکی و شعاع هیدرولیکی چیست؟
عمق هیدرولیکی از تقسیم مساحت جریان بر عرض سطح آزاد به دست میآید، در حالی که شعاع هیدرولیکی حاصل تقسیم مساحت جریان بر محیط خیسشده است. در محاسبه عدد فرود باید عمق هیدرولیکی استفاده شود.
در کانال مستطیلی چه عمقی وارد کنیم؟
در کانال مستطیلی، عمق هیدرولیکی با عمق قائم آب برابر است؛ بنابراین میتوان عمق آب را مستقیماً وارد کرد.
عدد فرود کمتر از یک چه معنایی دارد؟
این وضعیت نشاندهنده جریان زیر بحرانی است. سرعت جریان از سرعت انتشار موج کمتر است و شرایط پاییندست میتواند بر جریان بالادست اثر بگذارد.
عدد فرود بیشتر از یک چه معنایی دارد؟
این وضعیت نشاندهنده جریان فوق بحرانی است. سرعت جریان از سرعت انتشار موج بیشتر است و اغتشاشات کوچک نمیتوانند به سمت بالادست حرکت کنند.
عدد فرود برابر یک چه معنایی دارد؟
در این شرایط جریان بحرانی است و انرژی مخصوص برای دبی مشخص در کمترین مقدار قرار دارد.
آیا جریان فوق بحرانی همان جریان آشفته است؟
خیر. فوق بحرانی یا زیر بحرانی بودن با عدد فرود مشخص میشود، در حالی که آرام یا آشفته بودن جریان بر اساس عدد رینولدز تعیین میشود.
آیا این محاسبهگر عمق بحرانی را مستقیماً محاسبه میکند؟
ماژول عمق هیدرولیکی متناظر با عدد فرود، سرعت و شتاب گرانش را محاسبه میکند. برای محاسبه عمق بحرانی یک کانال از روی دبی و هندسه، باید شرایط Fr = 1 همراه با روابط هندسی مقطع حل شود.
منابع فنی
- Federal Highway Administration، Urban Drainage Design Manual.
- Federal Highway Administration، Introduction to Highway Hydraulics.
- U.S. Army Corps of Engineers، Hydrologic Engineering Center، مبانی جریان روباز و عدد فرود.
- U.S. Bureau of Reclamation، Water Measurement Manual.
- مراجع دانشگاهی هیدرولیک و جریان در کانالهای روباز.